طرق حساب مساحة المثلث , كيف يمكن حساب مساحة مجسم المثلث ,

في الهندسة يوجد أنواع كثيرة من المثلثات ومنها المثلث القائم الذي يستعمل

معه نظريات فيثاغورث والمثلث متساوي الأضلاع وغيره وتتفاوت قوانين المساحة.

في الهندسة الرياضية، تعطى مساحة المثلث بالقانون:

المساحة = ½×طول القاعدة × الارتفاع

يقصد بالقاعدة أحد أضلاع المثلث و يقصد بالارتفاع العمود النازل من الرأس على القاعدة أو
على امتدادها.

لاثبات ما سبق يحول المثلث إلى متوازي أضلاع مساحته ضعف مساحة المثلث،

و بعدها يحول إلى مستطيل طوله قاعدة المثلث و عرضه ارتفاع المثلث.

حساب مساحة المثلث هندسيا

و من هذا القانون نتوصل إلى قوانين مساحة المثلث الأخرى.

محتويات

1 قوانين المساحة للمثلث
1.1 القانون الأول

1.2 القانون الثاني
1.3 القانون الثالث

1.4 القانون الرابع
1.5 القانون الخامس

1.6 القانون السادس
2 اقرأ أيضاً

قوانين المساحة للمثلث
القانون الأول

المثلث ABC.
يصل بين مساحة المثلث وبين جيب إحدى زواياه.

{displaystyle

{underline {Area_{ABC}={frac {1}{2}}absin {C}}}}{displaystyle {underline {Area_{ABC}={frac {1

}{2}}absin {C}}}}

البرهان:

في المثلث ABC: القطعة المستقيمة AN ارتفاع و a,b,c أطوال أضلاع المثلث.

المثلث ANC مثلث قائم في N:

{displaystyle Rightarrow Sin{C}={frac {AN}{b}}}{displaystyle Rightarrow Sin{C}={frac {AN}{b}}}

(جيب الزاوية يساوي المقابل على الوتر في المثلث القائم)

{displaystyle Rightarrow AN=bsin {C}}{displaystyle Rightarrow AN=bsin {C}}

{displaystyle Area_{ABC}={frac {1}{2}}a.AN={frac {1}{2}}absin {C}}{displaystyle Area_{ABC}={frac

{1}{2}}a.AN={frac {1}{2}}absin {C}}

القانون الثاني

دائرة محيطة بالمثلث
يوضح علاقة مساحة المثلث بنصف قطر الدائرة المحيطة به R.

{displaystyle {underline {Area_{ABC}={frac {abc}{4R}}}}}{displaystyle {underline {Area_{ABC}={frac {abc}{4R}}}}}

البرهان:

باستخدام قانون الجيوب:

{displaystyle {frac {c}{sin {C}}}=2R}{displaystyle {frac {c}{sin {C}}}=2R}

{displaystyle Rightarrow sin{C}={frac {c}{2R}}}{displaystyle Rightarrow sin{C}={frac {c}{2R}}}

{displaystyle Area_{ABC}={frac {1}{2}}absin {C}={frac {abc}{4R}}}

{displaystyle Area_{ABC}={frac {1}{2}}absin {C}={frac {abc}{4R}}}

القانون الثالث

دائرة داخلية في المثلث ABC
يصل بين مساحة المثلث و نصف قطر الدائرة الداخلية r و نصف المحيط s.

{displaystyle {underline {Area_{ABC}=rs}}}{displaystyle {underline {Area_{ABC}=rs}}}

البرهان:

P مركز الدائرة الداخلية للمثلث

{displaystyle Area_{ABC}=Area_{BPC}+Area_{APC}+Area_{APB}}{displaystyle

Area_{ABC}=Area_{BPC}+Area_{APC}+Area_{APB}}

باستخدام “المساحة = ½ القاعدة × الارتفاع” ثلاث مرات:

{displaystyle Area_{ABC}={frac {1}{2}}ar+{frac {1}{2}}br+{frac {1}{2}}cr}

{displaystyle Area_{ABC}={frac {1}{2}}ar+{frac {1}{2}}br+{frac {1}{2}}cr}

{displaystyle Rightarrow Area_{ABC}=r{frac {a+b+c}{2}}=rs}{displaystyle Rightarrow Area_{ABC}=r

{frac {a+b+c}{2}}=rs}

القانون الرابع
يعرف بصيغة هيرو:

باعتبار أن a,b,c اطوال اضلاع المثلث قيم معلومة، فإن مساحة المثلث هي:

{displaystyle {underline

{Area_{ABC}={sqrt {sleft(s-aright)left(s-bright)left(s-cright)}}}}}

{displaystyle {underline {Area_{ABC}={sqrt {sleft(s-aright)left(s-bright)left(s-cright)}}}}}

حيث أن s نصف محيط المثلث.

القانون الخامس

يعرف بصيغة جيوشاو:

{displaystyle {underline {Area_{ABC}

={frac {1}{2}}{sqrt {a^{2}c^{2}

-left({frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2}}right

)^{2}}}}}}{displaystyle {underline {Area_{ABC}=

{frac {1}{2}}{sqrt {a^{2}c^{2}-left({frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2}}right)^{2}}}}}}

القانون السادس
مساحة المثلث القائم بدلالة طول الوتر والمحيط تُعطى بالعلاقة :

المساحة = ( 1 / 4 ) [ (المحيط)^2 – 2 × المحيط × طول
الوتر ]

طرق حساب مساحة المثلث,

طريقة حساب مساحة المثلث.