فى الهندسه يوجد نوعيات عديدة من المثلثات و منها المثلث القائم الذي يستخدم
معة نظريات فيثاغورث و المثلث متساوى الأضلاع و غيرة و تتفاوت قوانين المساحة.
فى الهندسه الرياضية،
تعطي مساحه المثلث بالقانون:
المساحه = ½×طول القاعده × الارتفاع
يقصد بالقاعده احد اضلاع المثلث و يقصد بالارتفاع العمود النازل من الرأس على القاعده او على امتدادها.
لاثبات ما سبق يحول المثلث الى متوازى اضلاع مساحتة ضعف مساحه المثلث،
و بعدين يحول الى مستطيل طولة قاعده المثلث و عرضة ارتفاع المثلث.
حساب مساحه المثلث هندسيا
و من ذلك القانون نتوصل الى قوانين مساحه المثلث الأخرى.
محتويات
1 قوانين المساحه للمثلث
1.1 القانون الأول
1.2 القانون الثاني
1.3 القانون الثالث
1.4 القانون الرابع
1.5 القانون الخامس
1.6 القانون السادس
2 اقرا ايضا
قوانين المساحه للمثلث
القانون الأول
المثلث ABC.
يصل بين مساحه المثلث و بين جيب احدي زواياه.
{displaystyle
{underline Area_{ABC}={frac 1}{2}}absin C}}}}{displaystyle underline Area_{ABC}={frac 1
}{2}}absin C}}}}
البرهان:
فى المثلث ABC: القطعة المستقيمه AN ارتفاع و a,b,c اطوال اضلاع المثلث.
المثلث ANC مثلث قائم فN:
{displaystyle Rightarrow Sin{C}={frac AN}{b}}}{displaystyle Rightarrow Sin{C}={frac AN}{b}}}
(جيب الزاويه يساوى المقابل على الوتر فالمثلث القائم)
{displaystyle Rightarrow AN=bsin C}}{displaystyle Rightarrow AN=bsin C}}
{displaystyle Area_{ABC}={frac 1}{2}}a.AN={frac 1}{2}}absin C}}{displaystyle Area_{ABC}={frac
{1}{2}}a.AN={frac 1}{2}}absin C}}
القانون الثاني
دائره محيطه بالمثلث
يوضح علاقه مساحه المثلث بنصف قطر الدائره المحيطه فيه R.
{displaystyle underline Area_{ABC}={frac abc}{4R}}}}}{displaystyle underline Area_{ABC}={frac abc}{4R}}}}}
البرهان:
باستعمال قانون الجيوب:
{displaystyle frac c}{sin C}}}=2R}{displaystyle frac c}{sin C}}}=2R}
{displaystyle Rightarrow sin{C}={frac c}{2R}}}{displaystyle Rightarrow sin{C}={frac c}{2R}}}
{displaystyle Area_{ABC}={frac 1}{2}}absin C}={frac abc}{4R}}}
{displaystyle Area_{ABC}={frac 1}{2}}absin C}={frac abc}{4R}}}
القانون الثالث
دائره داخلية فالمثلث ABC
يصل بين مساحه المثلث و نص قطر الدائره الداخلية r و نص المحيط s.
{displaystyle underline Area_{ABC}=rs}}}{displaystyle underline Area_{ABC}=rs}}}
البرهان:
P مركز الدائره الداخلية للمثلث
{displaystyle Area_{ABC}=Area_{BPC}+Area_{APC}+Area_{APB}}{displaystyle
Area_{ABC}=Area_{BPC}+Area_{APC}+Area_{APB}}
باستعمال “المساحه = ½ القاعده × الارتفاع” ثلاث مرات:
{displaystyle Area_{ABC}={frac 1}{2}}ar+{frac 1}{2}}br+{frac 1}{2}}cr}
{displaystyle Area_{ABC}={frac 1}{2}}ar+{frac 1}{2}}br+{frac 1}{2}}cr}
{displaystyle Rightarrow Area_{ABC}=r{frac a+b+c}{2}}=rs}{displaystyle Rightarrow Area_{ABC}=r
{frac a+b+c}{2}}=rs}
القانون الرابع
يعرف بصيغه هيرو:
باعتبار ان a,b,c اطوال اضلاع المثلث قيم معلومة،
فإن مساحه المثلث هي:
{displaystyle underline
{Area_{ABC}={sqrt sleft(s-aright)left(s-bright)left(s-cright)}}}}}
{displaystyle underline Area_{ABC}={sqrt sleft(s-aright)left(s-bright)left(s-cright)}}}}}
حيث ان s نص محيط المثلث.
القانون الخامس
يعرف بصيغه جيوشاو:
{displaystyle underline Area_{ABC}
={frac 1}{2}}{sqrt a^{2}c^{2}
-left({frac a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2}}right
)^{2}}}}}}{displaystyle underline Area_{ABC}=
{frac 1}{2}}{sqrt a^{2}c^{2}-left({frac a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2}}right)^{2}}}}}}
القانون السادس
مساحه المثلث القائم بدلاله طول الوتر و المحيط تعطي بالعلاقه
المساحه = 1 / 4 [ المحيط)^2 – 2 × المحيط × طول الوتر ]
طرق حساب مساحه المثلث,
كيفية حساب مساحه المثلث.
