طرق حساب مساحة المثلث , كيف يمكن حساب مساحة مجسم المثلث ,

فى الهندسه يوجد نوعيات كثيره من المثلثات و منها المثلث القائم الذي يستخدم

معة نظريات فيثاغورث و المثلث متساوى الأضلاع و غيرة و تتفاوت قوانين المساحة.

 

فى الهندسه الرياضية، تعطي مساحه المثلث بالقانون:

المساحه = ½×طول القاعده × الارتفاع

 

يقصد بالقاعده احد اضلاع المثلث و يقصد بالارتفاع العمود النازل من الرأس علي القاعده او علي امتدادها.

لاثبات ما سبق يحول المثلث الي متوازى اضلاع مساحتة ضعف مساحه المثلث،

 

 

و بعدين يحول الي مستطيل طولة قاعده المثلث و عرضة ارتفاع المثلث.

حساب مساحه المثلث هندسيا

 

 

و من ذلك القانون نتوصل الي قوانين مساحه المثلث الأخرى.

محتويات

 

1 قوانين المساحه للمثلث


1.1 القانون الأول

 

1.2 القانون الثاني


1.3 القانون الثالث

 

1.4 القانون الرابع


1.5 القانون الخامس

 

1.6 القانون السادس


2 اقرا ايضا

 

قوانين المساحه للمثلث


القانون الأول

 

 

المثلث ABC.


يصل بين مساحه المثلث و بين جيب احدي زواياه.

 

 

{displaystyle

{underline {Area_{ABC}={frac {1}{2}}absin {C}}}}{displaystyle {underline {Area_{ABC}={frac {1

 

}{2}}absin {C}}}}

البرهان:

 

 

فى المثلث ABC: القطعه المستقيمه AN ارتفاع و a,b,c اطوال اضلاع المثلث.

المثلث ANC مثلث قائم فN:

 

 

{displaystyle Rightarrow Sin{C}={frac {AN}{b}}}{displaystyle Rightarrow Sin{C}={frac {AN}{b}}}

(جيب الزاويه يساوى المقابل علي الوتر فالمثلث القائم)

 

 

{displaystyle Rightarrow AN=bsin {C}}{displaystyle Rightarrow AN=bsin {C}}

{displaystyle Area_{ABC}={frac {1}{2}}a.AN={frac {1}{2}}absin {C}}{displaystyle Area_{ABC}={frac

 

{1}{2}}a.AN={frac {1}{2}}absin {C}}

القانون الثاني

 

 

دائره محيطه بالمثلث


يوضح علاقه مساحه المثلث بنصف قطر الدائره المحيطه بة R.

{displaystyle {underline {Area_{ABC}={frac {abc}{4R}}}}}{displaystyle {underline {Area_{ABC}={frac {abc}{4R}}}}}

البرهان:

باستعمال قانون الجيوب:

{displaystyle {frac {c}{sin {C}}}=2R}{displaystyle {frac {c}{sin {C}}}=2R}

 

 

{displaystyle Rightarrow sin{C}={frac {c}{2R}}}{displaystyle Rightarrow sin{C}={frac {c}{2R}}}

{displaystyle Area_{ABC}={frac {1}{2}}absin {C}={frac {abc}{4R}}}

 

{displaystyle Area_{ABC}={frac {1}{2}}absin {C}={frac {abc}{4R}}}

القانون الثالث

 

 

دائره داخليه فالمثلث ABC


يصل بين مساحه المثلث و نص قطر الدائره الداخليه r و نص المحيط s.

 

 

{displaystyle {underline {Area_{ABC}=rs}}}{displaystyle {underline {Area_{ABC}=rs}}}

البرهان:

 

 

P مركز الدائره الداخليه للمثلث

{displaystyle Area_{ABC}=Area_{BPC}+Area_{APC}+Area_{APB}}{displaystyle

 

Area_{ABC}=Area_{BPC}+Area_{APC}+Area_{APB}}

باستعمال “المساحه = ½ القاعده × الارتفاع” ثلاث مرات:

 

 

{displaystyle Area_{ABC}={frac {1}{2}}ar+{frac {1}{2}}br+{frac {1}{2}}cr}

{displaystyle Area_{ABC}={frac {1}{2}}ar+{frac {1}{2}}br+{frac {1}{2}}cr}

 

 

{displaystyle Rightarrow Area_{ABC}=r{frac {a+b+c}{2}}=rs}{displaystyle Rightarrow Area_{ABC}=r

{frac {a+b+c}{2}}=rs}

 

 

القانون الرابع


يعرف بصيغه هيرو:

 

 

باعتبار ان a,b,c اطوال اضلاع المثلث قيم معلومة، فإن مساحه المثلث هي:

{displaystyle {underline

 

{Area_{ABC}={sqrt {sleft(s-aright)left(s-bright)left(s-cright)}}}}}

{displaystyle {underline {Area_{ABC}={sqrt {sleft(s-aright)left(s-bright)left(s-cright)}}}}}

 

 

حيث ان s نص محيط المثلث.

القانون الخامس

 

يعرف بصيغه جيوشاو:

{displaystyle {underline {Area_{ABC}

 

={frac {1}{2}}{sqrt {a^{2}c^{2}

-left({frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2}}right

 

)^{2}}}}}}{displaystyle {underline {Area_{ABC}=

{frac {1}{2}}{sqrt {a^{2}c^{2}-left({frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2}}right)^{2}}}}}}

 

 

القانون السادس


مساحه المثلث القائم بدلاله طول الوتر و المحيط تعطي بالعلاقه :

المساحه = ( 1 / 4 ) [ (المحيط)^2 – 2 × المحيط × طول الوتر ]

 

طرق حساب مساحه المثلث,

كيفية حساب مساحه المثلث.



 


طرق حساب مساحة المثلث , كيف يمكن حساب مساحة مجسم المثلث ,